కాంప్లెక్స్ సంఖ్యలు. అర్థం మరియు పరిణామం "ఊహాత్మక పరిమాణాలు"

సంఖ్యలు గణనలు మరియు లెక్కల కోసం అవసరమైన ప్రాథమిక గణిత వస్తువులు. సహజమైన, పూర్ణాంక, హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుకమైన సంఖ్యా విలువలు యొక్క సంపూర్ణత వాస్తవ సంఖ్యలు అని పిలవబడే సమితిని ఏర్పరుస్తుంది. కానీ అసాధారణమైన వర్గం కూడా ఉంది - సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, రెనే డెస్కార్టెస్ "ఊహాత్మక విలువలు" గా నిర్వచించబడింది. మరియు పద్దెనిమిదవ శతాబ్దపు ప్రముఖ గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరైన, లియోనార్డ్ ఎయిలెర్, ఫ్రెంచ్ పదం ఊహాచిత్రం (ఊహాత్మక) నుండి నేను లేఖను సూచించటానికి ప్రతిపాదించాడు. క్లిష్టమైన సంఖ్యలు ఏమిటి?

A + b అనే ఒక రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణలు a మరియు b అనేవి నిజమైన సంఖ్యలు, మరియు నేను ఒక ప్రత్యేక విలువ యొక్క డిజిటల్ సూచిక, ఇది చదరపు సంఖ్య -1. సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై కార్యకలాపాలు బహుపదాలపై పలు గణిత శాస్త్ర కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన నియమాలు నిర్వహిస్తాయి. ఈ గణిత శాస్త్ర వర్గం ఏ కొలతలు లేదా గణనల ఫలితాలను వ్యక్తం చేయదు. ఇది చేయుటకు, వాస్తవ సంఖ్యలను కలిగి ఉండటం సరిపోతుంది. అప్పుడు వారు నిజంగా ఏం అవసరం?

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, ఒక గణిత భావనగా, అవసరం ఎందుకంటే రియల్ కోఎఫీషియెంట్లతో ఉన్న కొన్ని సమీకరణాలు "సాధారణ" సంఖ్యల ప్రాంతంలో పరిష్కారాలను కలిగి లేవు. తత్ఫలితంగా, అసమానతలను పరిష్కరిస్తున్న పరిధిని విస్తరించేందుకు, కొత్త గణితశాస్త్ర వర్గంను పరిచయం చేయడానికి ఇది అవసరమైంది. ప్రధానంగా ఒక నైరూప్య సైద్ధాంతిక విలువ కలిగిన సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, x ² + 1 = 0 వంటి సమీకరణాలను అనుమతించాయి. ఉదాహరణకు, అన్ని వర్గీకరణ పద్ధతులు ఉన్నప్పటికీ, ఈ వర్గం సంఖ్య చాలా చురుకుగా మరియు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, వివిధ ఆచరణాత్మక స్థితిస్థాపకత, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్, ఏరోడైనమిక్స్ మరియు హైడ్రోమీనిక్స్, అణు భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఇతర శాస్త్రీయ విభాగాల సిద్ధాంతాలు.

గ్రాఫ్లు నిర్మిస్తున్నప్పుడు ఒక క్లిష్టమైన సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ మరియు వాదనను ఉపయోగిస్తారు. ఈ రచన రూపాన్ని త్రికోణమితి అని పిలుస్తారు. అదనంగా, ఈ సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణ వారి అప్లికేషన్ యొక్క పరిధిని మరింత విస్తరించింది. ఇది వివిధ కార్టోగ్రాఫిక్ గణనల కోసం వాటిని ఉపయోగించడం సాధ్యమైంది.

గణిత శాస్త్రం సాధారణ సహజ సంఖ్యలు నుండి సంక్లిష్ట సంక్లిష్ట వ్యవస్థలు మరియు వారి విధులకు చాలా దూరంగా ఉంది. ఈ అంశంపై మీరు ఒక ప్రత్యేక పుస్తకాన్ని వ్రాయవచ్చు. ఇక్కడ మనం సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క కొన్ని పరిణామాత్మక క్షణాలను మాత్రమే పరిగణించాలి , తద్వారా ఇచ్చిన గణిత శాస్త్ర వర్గీకరణకు సంబంధించిన అన్ని చారిత్రక మరియు శాస్త్రీయ పూర్వప్రత్యయాలు స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్తలు "నిజమైన" ప్రత్యేకమైన సహజ సంఖ్యలను పరిగణిస్తారు, వీటిని ఏదైనా లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడతాయి. ఇప్పటికే రెండవ సహస్రాబ్ది BC లో. ఇ. వివిధ ఆచరణాత్మక లెక్కల్లో పురాతన ఈజిప్షియన్లు మరియు బాబిలోనియన్లు చురుకుగా భిన్నాలను ఉపయోగించారు. మా యుగానికి ముందు రెండు వందల సంవత్సరాల పురాతన చైనాలో ప్రతికూల సంఖ్యలను గణితం అభివృద్ధిలో తదుపరి ముఖ్యమైన మైలురాయిగా చెప్పవచ్చు. వారు పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు డియోఫాంటస్ చేత ఉపయోగించబడ్డారు, వారికి సరళమైన కార్యకలాపాల నియమాలు తెలుసు. ప్రతికూల సంఖ్యల సహాయంతో సానుకూల విమానంలో మాత్రమే పరిమాణంలో వివిధ మార్పులను వివరించడం సాధ్యమైంది.

మా శకం యొక్క ఏడవ శతాబ్దంలో ఇది సానుకూల సంఖ్యలు యొక్క చదరపు మూలాలు ఎల్లప్పుడూ రెండు అర్థాలు కలిగి ఉన్నాయని నిర్ధారించబడింది - సానుకూల, ప్రతికూల తప్ప. తరువాతి కాలంలో, ఆ వర్గంలో సాధారణ బీజగణిత పద్ధతుల ద్వారా వర్గమూలాన్ని తీసివేయడం సాధ్యం కాదు: x ² = 9 యొక్క అలాంటి విలువ లేదు. ఎక్కువ కాలం ఇది చాలా ప్రాముఖ్యత లేదు. మరియు పదహారవ శతాబ్దంలో మాత్రమే, క్యూబిక్ సమీకరణాలు కనిపించినప్పుడు మరియు చురుకుగా అధ్యయనం చేయబడినప్పుడు, ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క వర్గమూలాన్ని సేకరించేందుకు ఇది అవసరమైంది, ఎందుకంటే ఈ వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించడానికి సూత్రం ఘనపు, కానీ చదరపు మూలాలను కలిగి ఉంది.

సమీకరణం అత్యంత నిజమైన మూలంగా ఉంటే అలాంటి సూత్రం మచ్చలేనిది. సమీకరణంలో మూడు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉన్న సందర్భంలో, వారు నయమవుతున్నప్పుడు, ప్రతికూల విలువతో ఒక సంఖ్య పొందబడింది. అందువల్ల ఈ మూడు మూలకాలను సేకరించే మార్గాన్ని గణిత శాస్త్రం యొక్క దృష్టికోణంలో అసాధ్యమైన ఆపరేషన్ ద్వారా తెలుస్తుంది.

ఫలిత పారడాక్స్ గురించి వివరించడానికి, ఇటలీ బీజగణిత నిపుణుడు J. కార్డానో అసాధారణమైన స్వభావం యొక్క కొత్త వర్గంను పరిచయం చేయమని కోరారు, ఇవి సంక్లిష్టంగా పిలువబడ్డాయి. కార్డానో తనను తాను పనికిరానివారిగా భావించాడని మరియు ప్రతి సాధ్యమైన మార్గంలో అతడు ప్రతిపాదించిన అదే గణిత శాస్త్ర వర్గం ఉపయోగించకుండా ఉండాలని ప్రయత్నించాడు. కానీ ఇప్పటికే 1572 లో మరొక ఇటాలియన్ ఆల్జీబ్రాస్ట్ బంబెల్లీ పుస్తకాన్ని కనుగొన్నారు, ఇక్కడ సంక్లిష్ట సంఖ్యల యొక్క కార్యకలాపాల వివరాలను వివరంగా వివరించారు.

మొత్తం పదిహేడవ శతాబ్దంలో, ఈ సంఖ్యల గణిత స్వభావం మరియు వారి రేఖాగణిత వివరణ యొక్క అవకాశాలను చర్చించారు. అంతేకాక, వారితో పనిచేసే సాంకేతికత క్రమంగా అభివృద్ధి చెందింది మరియు అభివృద్ధి చేయబడింది. మరియు 17 వ మరియు 18 వ శతాబ్దాల ప్రారంభంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం సృష్టించబడింది. సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్ యొక్క విధుల యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధి మరియు అభివృద్ధికి భారీ సహకారం రష్యన్ మరియు సోవియట్ శాస్త్రవేత్తలచే ప్రవేశపెట్టబడింది. NI ముస్కేహెలీలియల్ స్థితిస్థాపక సిద్ధాంతం యొక్క సమస్యలకు దాని అప్లికేషన్లో నిమగ్నమై ఉన్నాడు, కెల్డిష్ మరియు లారెంట్యేవ్ క్వాంటం ఫీల్డ్ థియరీలో హైడ్రో-ఏరోడైనమిక్స్ మరియు వ్లాదిమిరోవ్ మరియు బొగోలైబోవ్ రంగంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు అనువర్తనాన్ని కనుగొన్నారు.