నిరవధిక సమగ్ర. నిరవధిక సమాకలనాలకు లెక్కింపును

గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రాధమిక విభాగాలు ఒకటి సమాకలన కలనం ఉంది. ఇది నిరవధిక సమగ్ర ఉంది - ఇది మొదటి వస్తువులు, విస్తృతి రంగంలో వర్తిస్తుంది. ఉన్నత పాఠశాల లో ఇప్పటికీ ఒక కీ ఉన్నత గణిత వివరిస్తుంది అవకాశాలు మరియు అవకాశాలు సంఖ్య పెరిగిపోయింది, వెల్లడిస్తుంది స్థానం అది నిలుస్తుంది.

ప్రదర్శన

మొదటి చూపులో, అది ఆధునిక, సమయోచిత వరకు పూర్తిగా సమగ్ర ఉంది, కానీ ఆచరణలో అది అతను 1800 లో తిరిగి వచ్చిన అవుతుంది BC. మాకు దాని ఉనికి ముందు సాక్ష్యం చేరుకోలేదు వలె హోమ్ అధికారికంగా ఈజిప్ట్ భావిస్తారు. ఇది కారణంగా సమాచారాన్ని లేకపోవడం, అన్ని అయితే ఒక దృగ్విషయంగా కేవలం స్థానంలో. అతను మరోసారి ఆ సార్లు ప్రజల శాస్త్రీయ అభివృద్ధి స్థాయి నిర్ధారించారని. చివరగా, రచనలు దొరకలేదు , పురాతన గ్రీక్ సంఖ్యాశాస్త్ర 4 వ శతాబ్దం BC నుండి డేటింగ్. వారు నిరవధిక సమగ్ర సారాంశం వాల్యూమ్ లేదా కిందనుంచి ఆకారం ప్రాంతంలో (త్రిమితీయ మరియు రెండు-డైమెన్షనల్ విమానం, వరుసగా) కనుగొనేందుకు అక్కడ ఉపయోగించిన పద్ధతి వివరిస్తాయి. లెక్కింపు ఇన్ఫినిటేసిమల్ భాగాలు అసలు ఫిగర్ విభజన సూత్రం ఆధారంగా, వాల్యూమ్ (ప్రాంతం) ఇప్పటికే వాటిని తెలిసిన అందించిన. కాలక్రమేణా, పద్ధతి పెరిగింది, ఆర్కిమెడిస్ అది ఒక అడ్డగీత ప్రాంతంలో కనుగొనేందుకు ఉపయోగిస్తారు. అదే సమయంలో ఇలాంటి లెక్కలు వారు గ్రీక్ తోటి సైన్స్ నుండి పూర్తిగా స్వతంత్ర ఉన్న పురాతన చైనా, వ్యాయామాలు నిర్వహించడం.

అభివృద్ధి

XI సెంచరీ BC లో తదుపరి పురోగతి అరబ్ పండితుడు పని మారింది "బండి" యొక్క సరిహద్దులు ముందుకు ఎవరు అబూ ఆలీ అల్- Basri, ఇప్పటికే తెలిసిన, మాకు తెలిసిన ఈ కోసం దరఖాస్తు, నాల్గవ మొదటి నుండి మొత్తంలో మరియు డిగ్రీలు మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి కోసం సమగ్ర సూత్రం నుండి తీసుకోబడ్డాయి ఇండక్షన్ పద్ధతి.
నేటి మైండ్స్ మెచ్చుకున్నారు పురాతన ఈజిప్షియన్లు తమ చేతుల్లోకి ఆ తప్ప, ఏ ప్రత్యేక టూల్స్ లేకుండా అద్భుతమైన స్మారక రూపొందించినవారు, కానీ సమయం తక్కువ ఒక అద్భుతం ఒక శక్తి పిచ్చి శాస్త్రజ్ఞులు కాదు? వారి జీవితాలను ప్రస్తుత సార్లు పోలిస్తే దాదాపు ఆదిమ విధంగా, కానీ నిరవధిక సమాకలనాలకు నిర్ణయం ప్రతిచోటా ఊహించబడింది మరియు మరింత అభివృద్ధి కోసం వాడుకలో ఉపయోగిస్తారు.

తదుపరి దశలో ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కావెలిరీ కైవసం చేసుకుంది అనంత పద్ధతి, తెచ్చాడు, XVI శతాబ్దంలో జరిగింది Ferma పెర్. ఈ రెండు వ్యక్తిత్వం సమయంలో పిలువబడే అధునాతన సమాకలన కలనం, పునాది వేశాడు. వారు గతంలో స్వీయ నియంత్రణ యూనిట్లు భావించబడింది ఇది విభజనీకరణ మరియు సమన్వయాన్ని చీటీలు, టై. ద్వారా మరియు పెద్ద, ఆ సమయంలో గణిత ముక్కలైన కణాలు కనుగొన్న పరిమిత వినియోగం, తమను ద్వారా ఉనికిలో ఉంది. ఏకం మరియు సాధారణ గ్రౌండ్ కనుగొనేందుకు వే అతనికి ధన్యవాదాలు, ఆధునిక, సమయంలో మాత్రమే ఇది వాస్తవం గణిత విశ్లేషణ పెరుగుతాయి మరియు అభివృద్ధి అవకాశం.

సమయం గడిచేకొద్ది ప్రతిదీ మరియు సమగ్ర మానవ అలాగే మారుస్తుంది. ద్వారా మరియు పెద్ద, అది తన సొంత మార్గంలో, ఉదాహరణకు, న్యూటన్ ఒక integrable ఫంక్షన్ పెట్టి, లేదా కేవలం కలిసి ఒక చదరపు చిహ్నం, చేసేవారు శాస్త్రవేత్తలు ప్రత్యేకించారు. ఈ అసమానత్వం XVII శతాబ్దం గణిత విశ్లేషణ శాస్త్రవేత్త Gotfrid Leybnits మొత్తం సిద్ధాంతానికి ఒక మైలురాయి మనకు తెలిసిన ఒక పాత్ర పరిచయం వరకు కొనసాగింది. పొడిగించిన "S" నిజానికి ఈ లేఖ ఆధారంగా , రోమన్ అక్షరం ధాతువులు మొత్తం సూచిస్తుంది నుండి. సమగ్ర పేరు 15 సంవత్సరాల తర్వాత, జాకబ్ బెర్నౌలీ సాధించినందుకు ధన్యవాదాలు.

లాంఛనప్రాయమైన నిర్వచనం

నిరవధిక సమగ్ర ఆదిమ నిర్వచనం పై ఆధారపడి, కాబట్టి మేము మొదటి స్థానంలో పరిగణలోకి.

Antiderivative - ఆచరణలో అది ఆదిమ అంటారు ఉత్పన్నం విలోమ ఫంక్షన్ ఉంది. లేకుంటే: D యొక్క ప్రాచీనమైన ఫంక్షన్ - డెరివేటివ్ v <=> V '= v ఒక ఫంక్షన్ D, ఉంది. శోధన ఆదిమ నిరవధిక సమగ్ర లెక్కించేందుకు, మరియు ప్రక్రియ కూడా అనుసంధానం అంటారు.

ఉదాహరణకు:

ఫంక్షన్ లు (y) = y ^3, మరియు దాని ఆదిమ ఎస్ (y) = (y ^4/4).

ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని ధాతువుల యొక్క సెట్ - ఈ క్రింది నిరవధిక సమగ్ర ఉంది, అది సూచిస్తారు: ∫v (x) DX.

V (X) వాస్తవం ఉండటం ద్వారా - కొన్ని ఆదిమ అసలు ఫంక్షన్ ఉన్నాయి, వ్యక్తీకరణ కలిగి: ∫v (x) DX = v (X) + C, పేరు సి - స్థిరాంకం. ఏకపక్ష స్థిరంగా కింద, ఏ స్థిరంగా సూచిస్తుంది దాని ఉత్పన్న సున్నా నుండి.

లక్షణాలు

నిరవధిక సమగ్ర స్వాధీనంలో లక్షణాలు, ముఖ్యంగా నిర్వచనం మరియు ఉత్పన్నాలు యొక్క లక్షణాలు ఆధారంగా.
కీ పాయింట్లు పరిగణించండి:

• ఆదిమ ఇంటెగ్రల్ ఉత్పన్నం కూడా ప్లస్ ఏకపక్ష స్థిరంగా సి <=> ∫V ప్రాచీనమైన '(x) DX = v (X) + C;
• ఒక ఫంక్షన్ అంతర్గత ఉత్పన్న అసలు ఫంక్షన్ <=> (∫v (x) DX) 'ఉంది = v (x);
• స్థిరంగా సమగ్ర సైన్ <=> ∫kv (x) కింద నుండి బయటకు తీసినప్పుడు DX = k∫v (x) DX, ఇక్కడ k - అనియత ఉంది;
• ఒకే సమాన మొత్తం నుండి సమాకలనాలకు మొత్తం <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy తీసుకోవాలి ఇది సమగ్ర.

గత రెండు లక్షణాలు నిరవధిక సమగ్ర సరళ అని నిర్ధారించారు చేయవచ్చు. ఈ కారణంగా, మేము ఉన్నాయి: ∫ (KV (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

ఉదాహరణలు పరిష్కారాలను నిరవధిక సమాకలనాలకు ఫిక్సింగ్ చూడటానికి.

మీరు సమగ్ర ∫ (3sinx + 4cosx) DX వెతకాలి:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

ఉదాహరణకు నుండి మీకు నిరవధిక సమాకలనాలకు పరిష్కరించడానికి ఎలా తెలియదు నిర్ధారించారు చేయవచ్చు? జస్ట్ అన్ని ధాతువులు కనుగొనేందుకు! కానీ సూత్రాలు కోసం శోధన క్రింద చర్చించబడ్డాయి.

పద్ధతులు మరియు ఉదాహరణలు

సమగ్ర పరిష్కరించాలంటే, ఈ కింది విధానాలలో ఆశ్రయించాల్సిన చేయవచ్చు:

• పట్టిక ప్రయోజనాన్ని సిద్ధంగా;
• భాగాలు సమగ్రపరచడం;
• వేరియబుల్ స్థానంలో ఇంటిగ్రేటెడ్;
• అవకలన సైన్ కింద అప్ సంక్షిప్తం.

పట్టికలు

అత్యంత సాధారణ మరియు ఆనందించే మార్గం. ప్రస్తుతానికి, గణిత విశ్లేషణ నిరవధిక సమాకలనాలకు ప్రాథమిక సూత్రం వివరిస్తుంది ఇది చాలా విస్తృతమైన పట్టికలు, ప్రగల్భాలు చేయవచ్చు. ఇతర మాటలలో, మీరు వరకు ఉద్భవించింది టెంప్లేట్లు ఉన్నాయి మరియు మీరు మాత్రమే వాటిని పొందగలరు. ఇక్కడ దాదాపు ప్రతి ఉదాహరణకు ప్రదర్శించబడతాయి ఇది ప్రధాన పట్టిక స్థానాలు, జాబితా, ఉంది ఒక పరిష్కారం ఉంది:

• ∫0dy = సి, సి - స్థిరంగా;
• ∫dy = y + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, పేరు సి - ఒక స్థిరమైన, మరియు n - సంఖ్య ఐక్యత భిన్నంగా;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ^{∫e y dy = ఇ y + C} , పేరు సి - స్థిరంగా;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫cosydy = siny + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫sinydy = -cosy + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫dy / పాపం ² y = -ctgy + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫chydy = పిరికి + C, పేరు సి - స్థిరంగా;
• ∫shydy = chy + C, పేరు సి - స్థిరాంకం.

అవసరమైతే, ఒక పట్టిక వీక్షణ దశలను జంట integrand దారి చేయడానికి మరియు విజయం ఆనందించండి. ఉదాహరణ: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x పాపం (5x - 2) + C.

నిర్ణయం ప్రకారం ఉదాహరణకు ఒక పట్టిక integrand గుణకం 5. మేము అది సాధారణ వ్యక్తీకరణకు 1/5 ద్వారా ఈ గుణించడం సమాంతరంగా జోడించడానికి మార్చలేదు లేదు అని స్పష్టం అవుతుంది.

భాగాలు అనుసంధానం

z (y) మరియు X (y) - రెండు విధులు పరిగణించండి. వారు దాని డొమైన్లో నిరంతరం అవకలజ ఉండాలి. ఒకటి భేదం ఆస్తుల్లో మేము ఉన్నాయి: D (xz) = xdz + zdx. రెండు వైపులా సమగ్రపరచడం మనం పొందుతాం: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: ఫలితంగా సమీకరణం మళ్లీ మేము భాగాలు అనుసంధానం పద్ధతి వివరించే సూత్రం, పొందండి.

ఎందుకు అది అవసరం? ఉంటే రెండో పట్టిక రూపంలో దగ్గరగా వాస్తవం ఉదాహరణలు అది సరళీకృతం చేయడానికి అవకాశం ఉంది కొన్ని, యొక్క అని పిలవబడు, ∫zdx ∫xdz తగ్గించడానికి. అలాగే, ఈ సూత్రం సరైన ఫలితాల కోసం, ఒకసారి కంటే ఎక్కువ ఉపయోగించవచ్చు.

ఎలా నిరవధిక సమాకలనాలకు పరిష్కరించడానికి ఈ విధంగా:

• ∫ (s + 1) ఇ ^2s ds లెక్కించేందుకు అవసరం

∫ (x + ^{1) ఇ 2s ds {z = =} s + , y = 1, dz = ds 1 ^{/ 2e 2s, dy = ఇ 2x} ds} = ((s + 1) ఇ ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) ఇ ^2s) / 2-ఇ ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds లెక్కించేందుకు ఉండాలి

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + సి

వేరియబుల్ స్థానంలో

నిరవధిక సమాకలనాలకు పరిష్కార ఈ సూత్రం క్లిష్టమైన కాదు అయితే, గత రెండు కంటే డిమాండ్ తక్కువగా ఉంటాయి. పద్ధతి కింది విధంగా ఉంటుంది: లెట్ v (X) - కొన్ని ఫంక్షన్ v (x) యొక్క సమగ్ర. లోనే ఉదాహరణ slozhnosochinenny సమగ్ర వస్తుంది ఆ సంఘటన లో అయోమయం పొందుటకు మరియు తప్పు మార్గంలో పరిష్కారాలను డౌన్ వెళ్ళడానికి అవకాశం ఉంది. z కు x ఆధారపడి z కొనసాగిస్తూ సామాన్య వ్యక్తీకరణ దృష్టి సరళీకృత దీనిలో వేరియబుల్ x నుండి ఈ అభ్యాసం మార్పు, నివారించేందుకు.

ఈ క్రింది విధంగా గణిత పరంగా, ఈ ఉంది: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), వీటిలో x = y ( z) - ప్రత్యామ్నాయం. మరియు, కోర్సు యొక్క, విలోమ ఫంక్షన్ z = y ^-1 (x) పూర్తిగా సంబంధం మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది. ముఖ్య గమనిక - అవకలన DX తప్పనిసరిగా ఒక కొత్త అవకలన dz భర్తీ, నిరవధిక సమగ్ర వేరియబుల్ మార్పు నుండి కేవలం integrand లో, ప్రతిచోటా అది భర్తీ చేస్తారు.

ఉదాహరణకు:

• ds - ∫ (లు + 1) / (5 లు ² + 2s) వెతకాలి

ప్రతిక్షేపణ z = (s + 1) వర్తించు / (లు ² + 2s-5). అప్పుడు dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. ఫలితంగా, చాలా సులభం ఇది క్రింది వ్యక్తీకరణ, లెక్కించేందుకు:

∫ (s + 1) / (లు ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | లు ² + 2s-5 | + C;

• మీరు సమగ్ర ∫2 ^{ఇ S} DX వెతకాలి

క్రింది రూపంలో రాయాలని పరిష్కరించడానికి:

^{∫2 ఇ లు ds = ∫ (} 2E) లు డిఎస్.

మేము (ఇది ఇప్పటికీ వస్తోంది వాదన ఈ దశను కాదు భర్తీ) ఒక = 2E ద్వారా సూచించడానికి, మేము ఇవ్వాలని మా అకారణంగా ప్రాథమిక పట్టిక రూపం క్లిష్టమైన సమగ్ర:

^{∫ (2E) లు ds = ∫a} లు ds = ఒక s / lna + C = (2E) s / ln (2E) + సి = 2 ^s ఇ ^s / ln (2 + lne) + సి = 2 ^s ఇ ^s / (ln2 + 1) + C.

ఒక అవకలన సైన్ అప్ సంక్షిప్తం

ద్వారా మరియు పెద్ద, నిరవధిక సమాకలనాలకు ఈ పద్ధతి - వేరియబుల్ మార్పు సూత్రం కవల సోదరుడు, కానీ నమోదు ప్రక్రియ తేడాలున్నాయి. మాకు మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

ఉంటే ∫v (x) DX = v (X) + C మరియు y = z (x), అప్పుడు ∫v (y) dy = V (y) + C.

అదే సమయంలో మేము చిన్నవిషయం సమగ్ర రూపాంతరాలు, వీటిలో మర్చిపోతే ఉండకూడదు:

• DX = d (x +), మరియు ఇందులో - ప్రతి స్థిరంగా;
• DX = (1 / ఎ) D (ax + b), అక్కడ ఒక - స్థిరంగా మళ్ళీ, కానీ సున్నా కాదు;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

మేము నిరవధిక సమగ్ర లెక్కించేందుకు ఇక్కడ సాధారణ సందర్భంలో పరిగణలోకి ఉంటే, ఉదాహరణలు సాధారణ సూత్రం w '(x) DX = DW (x) కింద పరిగణించ వచ్చు.

ఉదాహరణలు:

• వెతకాలి ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + ^{3) 2)} / 3 + సి = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

ఆన్లైన్ సహాయం

కొన్ని సందర్భాల్లో, ఇది తప్పు కావచ్చు లేదా సోమరితనం, లేదా పెట్టవలసిన అవసరం, మీరు ఒక కాలిక్యులేటర్ నిరవధిక సమాకలనాలకు ఉపయోగించడానికి, ఉపయోగించడానికి ఆన్లైన్ అడుగును, లేదా కాకుండా. స్పష్టమైన సంక్లిష్టత మరియు సమాకలనాలకు వివాదాస్పద స్వభావం ఉన్నప్పటికీ, నిర్ణయం "మీరు ... అప్పుడు లేకపోతే ..." సూత్రం ఆధారంగా వారి నిర్దిష్ట అల్గోరిథం, సంబంధించినది.

ఐతే, అటువంటి ఒక కాలిక్యులేటర్ యొక్క ఒక ముఖ్యంగా జటిలమైన ఉదాహరణలు, నైపుణ్యం లేదు ఒక నిర్ణయం కృత్రిమంగా ప్రక్రియలో కొన్ని అంశాలు పరిచయం ద్వారా "బలవంతంగా" కనుగొనేందుకు ఉంది దీనిలో సందర్భాలలో ఉన్నాయి ఫలితాలు చేరుకోవడానికి స్పష్టమైన మార్గాలు ఉన్నాయి ఎందుకంటే. ఈ ప్రకటన వివాదాస్పద స్వభావం ఉన్నప్పటికీ, అది గణితం వలె, సూత్రం లో, ఒక నైరూప్య శాస్త్రం మరియు దాని ప్రాథమిక లక్ష్యం సరిహద్దుల గలదా అవసరం భావించింది, నిజం. నిజానికి, ఒక మృదువైన రన్ లో సిద్ధాంతాలు పైకి తరలించు మరియు పరిణామం, కాబట్టి అనుకోము మాకు ఇచ్చింది నిరవధిక సమాకలనాలకు పరిష్కరిస్తున్న ఉదాహరణలు, చాలా కష్టం - ఈ అవకాశాలు ఎత్తు. కానీ తిరిగి విషయాలు సాంకేతిక వైపు. లెక్కల తనిఖీ కనీసం, మీరు అది మాకు రచించబడిన సేవ ఉపయోగించవచ్చు. సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలు ఆటోమేటిక్ లెక్కింపు కోసం ఒక అవసరం ఉంటే, అప్పుడు వారు మరింత తీవ్రమైన సాఫ్ట్వేర్ ఆశ్రయించాల్సిన పరిస్థితి లేదు. ప్రధానంగా వాతావరణంలో మతలబ్ దృష్టి చెల్లించటానికి ఉండాలి.

అప్లికేషన్

ఇది విమానం స్పష్టమైన ఉపయోగించడం చూడవచ్చు కష్టం ఎందుకంటే మొదటి చూపులో నిరవధిక సమాకలనాలకు నిర్ణయం, రియాలిటీ నుండి పూర్తిగా వేరుచేసిన తెలుస్తోంది. నిజానికి, నేరుగా వాటిని ఎక్కడైనా మీరు కాదు ఉపయోగించడానికి, కానీ వారు వాడుకలో ఉపయోగిస్తారు పరిష్కారాలను ఉపసంహరణ ప్రక్రియలో ఒక అవసరమైన ఇంటర్మీడియట్ అంశం. అందువలన, తిరిగి భేదం ఏకీకరణను, అందువలన చురుకుగా సమీకరణాలను పరిష్కరించేందుకు ప్రక్రియలో పాల్గొనే.
చిన్న లో, ప్రస్తుత మరియు భవిష్యత్తు రూపొందించడంలో ఏర్పరచే ప్రతిదీ - ప్రతిగా, ఈ సమీకరణాలు యాంత్రిక సమస్యలు, పథం లెక్కింపు మరియు ఉష్ణ వాహకత నిర్ణయం ప్రత్యక్ష ప్రభావం కలిగి. మేము పైన ఒక బేస్ గా, మొదటి చూపులో మాత్రమే చిన్నవిషయం పరిశీలించింది చేసిన నిరవధిక సమగ్ర ఉదాహరణలు మరింత కొత్త ఆవిష్కరణలు చేసేందుకు.