బూలియన్ ఆల్జీబ్రా. తర్కం యొక్క బీజగణితం. గణిత తర్కం యొక్క ఎలిమెంట్స్

నేటి ప్రపంచంలో మనం ఎక్కువగా యంత్రాలు మరియు గాడ్జెట్లు వివిధ ఉపయోగిస్తున్నారు. మరియు వాచ్యంగా మానవాతీత బలం దరఖాస్తు అవసరం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే:,, మొదలైనవి ఎత్తు పెంచాలని దీర్ఘ మరియు లోతైన కందకం యు డిగ్ లోడ్ తరలించడానికి కార్లు నేటి రోబోట్లు సేకరించడానికి, ఆహారం వండుతారు Multivarki మరియు ప్రాథమిక అంకగణిత లెక్కల కాలిక్యులేటర్లు ఉత్పత్తి ... మరింత తరచుగా మేము పదబంధం "బూలియన్ ఆల్జీబ్రా" వినడానికి. బహుశా సమయం గణిత, కానీ కూడా మాత్రమే పరిష్కరించడానికి సామర్ధ్యం రోబోట్లు మరియు యంత్రాలు యొక్క సృష్టి లో మానవులు యొక్క పాత్రను అర్ధం అయింది తార్కిక సమస్యలు.

తర్కం

గ్రీకు తర్కం లో - ఇచ్చిన పరిస్థితులు మధ్య సంబంధం సృష్టిస్తుంది మరియు మీరు అంచనాలు మరియు అంచనాలు ఆధారంగా అనుమితులు చేయడానికి అనుమతించే ఆలోచన యొక్క ఒక ఆర్డర్ వ్యవస్థ. తరచూ, మేము ప్రతి ఇతర అడగండి: "ఇది తార్కిక ఉంది" ప్రత్యుత్తరం మా అంచనాలు నిర్ధారించారని లేదా ఆలోచన రైలు విమర్శించారు. కానీ ప్రక్రియ ఆగిపోదు: మేము మాట్లాడటానికి కొనసాగుతుంది.

కొన్నిసార్లు పరిస్థితులు (ఇన్పుట్) సంఖ్య కాబట్టి గొప్ప ఉంది, మరియు వాటి మధ్య సంబంధాన్ని మానవ మెదడు అన్ని "జీర్ణం" ఒకేసారి లేకపొతే చాలా గందరగోళంగా మరియు సంక్లిష్టమైనది. మీరు ఏమి జరుగుతుందో యొక్క అవగాహన కోసం ఒకటి కంటే ఎక్కువ నెల (వారం, సంవత్సరం) అవసరం ఉండవచ్చు. కానీ ఆధునిక జీవితం మాకు నిర్ణయాలు చేయడానికి ఈ విరామాలలో ఇవ్వదు. మరియు మేము కంప్యూటర్ల సాయం ఆశ్రయించాల్సిన. మరియు అది దాని చట్టాలు మరియు లక్షణాలతో ఒక బీజగణితం మరియు తర్కం అని ఇక్కడ ఉంది. అసలు డేటా అన్ని డౌన్లోడ్ అయిన తర్వాత, మేము కంప్యూటర్ వైరుధ్యాలు తొలగించడానికి సంతృప్తికర పరిష్కారం కనుగొనేందుకు, అన్ని సంబంధాలు గుర్తించడానికి అనుమతిస్తాయి.

గణితం మరియు తర్కం

ప్రముఖ Gotfrid Vilgelm Leybnits పనులు పండితులు కేవలం ఒక చిన్న వృత్తం అర్థం సులభం ఉన్నాయి "గణిత తర్కం" అంశాన్ని రూపొందించారు. ప్రత్యేక ఆసక్తి దిశలో కారణం లేదు ఉంది, మరియు కొన్ని తెలిసిన గణిత తర్కం యొక్క XIX శతాబ్దం మధ్య.

శాస్త్రీయ సమాజంలో గొప్ప ఆసక్తి దీనిలో ఆంగ్లేయుడు Dzhordzh బుల్ ఖచ్చితంగా వాడుకలో కలిగి లేదు, గణితం యొక్క ఒక శాఖ ఏర్పాటు చేయాలనే తన ఉద్దేశాన్ని ప్రకటించింది వివాదం కారణమైంది. మేము చురుకుగా పారిశ్రామిక ఉత్పత్తి అభివృద్ధి ఈ సమయంలో, చరిత్ర నుండి తెలిసిన, మేము సహాయక యంత్రాలు అన్ని రకాల అభివృద్ధి, t. E. అన్ని శాస్త్రీయ ఆవిష్కరణలు ఒక ఆచరణాత్మక విన్యాసాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.

ముందుకు గురించి, మేము పేర్కొన్నట్లు ఒక బూలియన్ ఆల్జీబ్రా - ప్రపంచంలో గణితం యొక్క నేటి భాగంగా అత్యంత వాడిన. సో మీ వాదన BUHL కోల్పోయింది.

Dzhordzh బుల్

రచయిత యొక్క వ్యక్తిత్వం ప్రత్యేక శ్రద్ధ అర్హురాలని. కూడా గత వ్యక్తులు మాకు ముందు పెరిగాడు, ఇంకా జాన్. BUHL 16 సంవత్సరాలలో గ్రామంలో పాఠశాలలో అధ్యాపకురాలిగా పనిచేశారు, మరియు 20 సంవత్సరాల లింకన్ తన సొంత పాఠశాల ప్రారంభమైంది గమనించాలి వాస్తవం ఇచ్చిన. గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు సంపూర్ణ ఐదు విదేశీ భాషలు స్వావలంబన, మరియు అతని ఖాళీ సమయంలో, న్యూటన్ మరియు Lagrange క్రియలు చదివిన. మరియు అన్ని ఈ - ఒక సాధారణ కార్మికుని కొడుకు మీద!

1839 లో, BUHL కేంబ్రిడ్జ్ గణిత జర్నల్ లో అతని మొదటి శాస్త్రీయ పత్రికలు పంపెను. సైంటిస్ట్ 24 సంవత్సరాల మారింది. బూలె యొక్క పని 1844 లో అతను అభివృద్ధికి ఆయన చేసిన కృషికి ఒక పతకం అందుకున్న రాయల్ సొసైటీ కాబట్టి ఆసక్తి సభ్యులు, ఉంది గణిత విశ్లేషణ. కొన్ని ప్రచురించబడిన పత్రాలు శాస్త్ర తర్కం అంశాలు, కార్క్ కౌంటీ విద్యాలయంలోని ప్రొఫెసర్ పోస్ట్ తీసుకోవాలని అనుమతించేది గణితశాస్త్రంలో యువ వివరించారు. చాలా బూలె విద్యను గుర్తుచేసుకున్నారు కాదు.

ఆలోచన

సూత్రం లో, బూలియన్ ఆల్జీబ్రా చాలా సులభం. ఉన్నాయి ప్రకటనలు (తార్కిక వ్యక్తీకరణలు) గణితం యొక్క కోణం నుండి, కేవలం రెండు పదాలు లో నిర్వచించవచ్చు, "నిజమైన" లేదా "తప్పుడు". ఉదాహరణకు, వసంత వికసించిన చెట్లు - సత్యం, వేసవిలో ఇది మంచులు - అబద్దము. గణితం యొక్క అందం అది మాత్రమే సంఖ్యలు ఉపయోగించడానికి ఖచ్చితంగా అవసరమైన కాదు. బీజగణితం న్యాయవిధుల చాలా ఏకైక అర్ధంతో మరే ప్రకటనలు సరిపోయే.

షెడ్యూల్ మరియు రచన సూచనల, సంఘటనలు మరియు చర్యల క్రమం యొక్క నిర్ణయం గురించి విరుద్ధమైన సమాచార విశ్లేషణ: ఆ విధంగా, తర్కం యొక్క బీజగణితం వాచ్యంగా ప్రతిచోటా ఉపయోగించవచ్చు. అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం - అది మేము ప్రకటనల యొక్క వాస్తవికత లేదా అసత్యం గుర్తించడానికి ఎలా పట్టింపు లేదు అని తెలుసుకోవటం. నుండి ఈ "ఎలా" మరియు "ఎందుకు" మీరు పట్టించుకోకండి అవసరం. ఏ విషయం వాస్తవం మాత్రమే ప్రకటన: సత్యం ఒక అబద్ధం ఉంది.

వాస్తవానికి, ప్రోగ్రామింగ్ తగిన గుర్తులు మరియు చిహ్నాల తో నమోదు చేసే తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క ముఖ్యమైన పనులను. మరియు వాటిని తెలుసుకోవడానికి - ఇది ఒక నూతన విదేశీ భాష నేర్చుకోవడానికి అర్థం. ఏమీ అసాధ్యం.

ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలు

లోతు లోకి వెళుతున్న లేకుండా, మేము పదజాలం పరిష్కరించేందుకు. కాబట్టి, బూలియన్ ఆల్జీబ్రా ముందుగానే ఊహిస్తుంది:

• ప్రకటనలు;
• తార్కిక కార్యకలాపాలు;
• విధులు మరియు చట్టాలు.

ప్రకటనలు - రెండు అంకెల-విలువగల చెప్పవచ్చు ఏ నిశ్చయాత్మక వ్యక్తీకరణ. వారు సంఖ్యలు (5> 3) లేదా రూపొందించారు తెలిసిన పదాలు (- అతిపెద్ద క్షీరద ఏనుగు) గా రాస్తారు. ఈ సందర్భంలో, ఈ పదబంధం ఉనికిలో హక్కు ఉంది, కేవలం బూలియన్ ఆల్జీబ్రా అది define "జిరాఫీ మెడ కాదు" "ఒక అబద్ధం."

అన్ని ప్రకటనలు నిర్ద్వంద్వంగా ఉండాలి, కానీ వారు ప్రాథమిక లేదా సమ్మేళనం కావచ్చు. ఇటీవలి ఉపయోగం తార్కిక కట్ట. ప్రాథమిక తర్కం కార్యకలాపాల అదనంగా ఏర్పడిన బీజగణితం ప్రకటనలు తీర్పులు సమ్మేళనం లో E..

బూలియన్ ఆల్జీబ్రా కార్యకలాపాలు

తార్కిక - మేము ఇప్పటికే ఆ తీర్పులను బీజగణితంలో కార్యకలాపాలు గుర్తుంచుకోవాలి. జస్ట్, జోడించడానికి వ్యవకలనం, లేదా పోల్చడం చాలా అంక కార్యకలాపాలు ఉపయోగించి సంఖ్యల ఆల్జీబ్రా, గణిత తర్కం అంశాలు కాదనడం లేదా తుది ఫలితాన్ని లెక్కించేందుకు, క్లిష్టమైన ప్రకటనలు చేస్తాయి.

క్రమబద్ధీకరణ మరియు సరళత సూత్రాన్ని, గణితం లో మనకు తెలిసిన వ్యక్తం తర్కం కార్యకలాపాలు. బూలియన్ ఆల్జీబ్రా సమీకరణాల గుణాలు అది సాధ్యం రికార్డ్ మరియు తెలియని లెక్కించేందుకు చేయడానికి. తార్కిక కార్యకలాపాలు సాధారణంగా సత్యం పట్టిక నమోదు చేసుకోవు. దాని మూలకాలు వాటిని నిర్వహిస్తారు ఇది స్తంభాలు మరియు కంప్యూటింగ్ పనులను వర్ణిస్తుంది, మరియు వరుసలు లెక్కల ఫలితాన్ని చూపించు.

చర్య యొక్క ప్రాథమిక తర్కం

బూలియన్ ఆల్జీబ్రా కార్యకలాపాలు అత్యంత సాధారణ వ్యతిరేకించడం (NOT), మరియు తార్కిక మరియు మరియు OR. కనుక ఇది ఆచరణాత్మకంగా బీజగణితం తీర్పులు దశలను వివరించడానికి అవకాశం ఉంది. మేము వివరాలు మూడు కార్యకలాపాలు ప్రతి అధ్యయనం.

రుణాత్మక (కాదు) ఒకే ఒక మూలకం (పరిమాణంలా) వర్తించబడుతుంది. అందువలన, ఆపరేషన్ unary వ్యతిరేకించడం అంటారు. "నాట్ ఎ" ఉపయోగించి అలాంటి చిహ్నాలను భావన రికార్డ్ చేయడానికి: ¬A, A లేదా A !. పట్టిక రూపంలో ఈ కనిపిస్తోంది:

తిరస్కరణ ఇటువంటి ప్రకటన యొక్క విలక్షణ ఫంక్షన్: నిజమైన ఉంటే, అప్పుడు ఒక - తప్పుడు ఉంది. ఉదాహరణకు, చంద్రుడు భూమి చుట్టూ తిరుగుతుంది - నిజం; ఒక అబద్ధం - భూమి చంద్రుడు చుట్టూ తిరుగుతుంది.

లాజికల్ గుణకారం మరియు అదనంగా

తార్కిక మరియు ఆపరేషన్ కలిపి అంటారు. అది అర్థం ఏమిటి? .. ద్వియాంశ - ముందుగా, అంటే, నేను రెండు ఆపరాండ్లను దరఖాస్తు చేసే. రెండవది, అది నిజమైన రెండు ఆపరాండ్లను (A మరియు B రెండూ) సత్యాన్ని విషయంలో ఉంది మరియు వ్యక్తీకరణ అనేది. సామెత, "సహనం మరియు ఒక చిన్న ప్రయత్నంతో" కేవలం రెండు కారకాలు ఒక వ్యక్తి ఇబ్బందులు భరించవలసి సహాయం ఇది సూచిస్తుంది.

A∧B, A⋅B లేదా A && B.: చిహ్నాలు రికార్డింగ్ కోసం ఉపయోగిస్తారు

సముచ్చయం సంఖ్యాశాస్త్రంలో గుణకారం పోలి ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు మరియు చెప్పటానికి - తార్కిక గుణకారం. మీరు పట్టిక వరుసలను అంశాలు ఉంటే, మేము తార్కిక ఆలోచన పోలి ఫలితంగా పొందుటకు.

Disjunction ఒక తార్కిక లేదా ఆపరేషన్ ఉంది. ప్రకటనలు కనీసం ఒక నిజమైన (A లేదా B గాని) ఉంటే ఇది నిజం. A∨B, A + B లేదా ఒక || B.: ఇది వంటి ఈ రాస్తారు ఈ ఆపరేషన్లను నిజం పట్టిక ఉన్నాయి:

ఇలాంటి అంక అదనంగా Disjunction. 1 + 1 = 1: తార్కిక అదనంగా ఆపరేషన్ మాత్రమే ఒక పరిమితి ఉంది. కానీ మేము ఒక డిజిటల్ ఫార్మాట్ లో గణిత తర్కం 0 మరియు 1 పరిమితం గుర్తుంచుకోవాలి (ఎక్కడ 1 - నిజం, 0 - తప్పుడు). ఉదాహరణకు, ప్రకటన "మ్యూజియం లో మీరు ఒక కళాఖండాన్ని చూడండి లేదా ఒక మంచి కంపెనీ వెదుక్కోవచ్చు" మీరు కళ యొక్క రచనలు చూడగలరు ఏమి అర్థం, మరియు అది ఒక ఆసక్తికరమైన వ్యక్తి కలిసే అవకాశం ఉంది. అదే సమయంలో, రెండు సంఘటనలు ఏకకాల సఫలీకృతం అవకాశం తోసిపుచ్చేందుకు లేదు.

విధులు మరియు చట్టాలు

కాబట్టి, మేము ఇప్పటికే తార్కిక ఆపరేషన్ బూలియన్ ఆల్జీబ్రా ఉపయోగించి ఏమి తెలుసు. విధులు గణిత తర్కం యొక్క మూలకాల అన్ని లక్షణాలు వివరించడానికి, మరియు మాకు సంక్లిష్ట సమ్మేళనం ప్రకటనలు సరళీకృతం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. అత్యంత స్పష్టమైన మరియు సులభమైన ఉత్పన్నాలు కార్యకలాపాల తిరస్కరణ ప్రాపర్టీ తెలుస్తోంది. ద్వారా ఉత్పన్నాలు XOR, అంతర్నిహిత మరియు సమాన అర్థం కాలేదు. మేము కేవలం ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను చదివి, ఆపై ఆస్థి ఉంది మాత్రమే వాటిని పరిగణలోకి.

Associativity వంటి ప్రకటనలు "A మరియు B, మరియు ఆపరాండ్లను బి 'క్రమం లిస్టింగ్ రెండు పట్టింపు లేదు అని అర్థం. క్రింది సూత్రం రాస్తారు:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

మీరు చూడగలరు గా, ఈ కలయికలో కానీ ఒక disjunction ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.

కమ్యుటేటివిటీ కలిపి లేదా disjunction ఫలితంగా ఆధారపడి ఉండదు అంశం ఆదిలోనే భావించారు ఇది వాదించాడు:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

పంపిణీ క్లిష్టమైన తార్కిక వ్యక్తమయ్యాయి బ్రాకెట్లలో బహిర్గతం అనుమతిస్తుంది. రూల్స్ బీజగణితంలో గుణకారం మరియు అదనంగా ప్రారంభ కుండలీకరణం పోలి ఉంటాయి:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

యూనిట్ లక్షణాలు మరియు గోకటం ఆపరాండ్లను ఒకటి సున్నా లేదా ఒకటి, మరియు ఒక యూనిట్ అదనంగా బీజ గుణకారం పోలి ఉంటాయి కావచ్చు:

A∧0 = 0, A∧1 = ఒక; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ఆ సాపేక్షంగా రెండు సమాన ఆపరాండ్లను కార్యకలాపం యొక్క ఫలితం అదే ఉంటే, మీరు చేయవచ్చు అదనపు క్లిష్టతరం వాదన ఆపరాండ్లను "త్రో" మాకు చెబుతుంది. మరియు కలిపి మరియు disjunction కార్యకలాపాలు మార్పురహిత ఉన్నాయి.

B∧B = B; B∨B = B.

అక్విజిషన్ కూడా మాకు సమీకరణం సులభతరం అనుమతిస్తుంది. శోషణ వ్యక్తీకరణ పద్ధతి దరఖాస్తు చేసినప్పుడు, ఫలితంగా పద్ధతి అదే మూలకం మరొక ఆపరేషన్ శోషణ అని చెపుతుంది.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

కార్యకలాపాలు క్రమం

కార్యకలాపాలు క్రమం గొప్ప ప్రాముఖ్యత ఉంది. అసలైన, బీజగణితం కోసం వంటి, ఒక బూలియన్ ఆల్జీబ్రా ఉపయోగించే ఒక ప్రాధాన్యత ఫంక్షన్ ఉంది. ఫార్ములాలు కార్యకలాపాల ప్రాముఖ్యత మాత్రమే విషయం సరళీకృత చేయవచ్చు. దాదాపు అత్యంత గణనీయమైన ర్యాంకింగ్, మేము ఈ క్రింది క్రమంలో పొందటానికి:

1. నిరాకరణ.

2. సముచ్చయం.

3. disjunction, XOR.

4. సూత్రప్రాయంగా, సమాన.

మీరు మాత్రమే కలిపి వ్యతిరేకించడం గమనిస్తే మరియు సమాన ప్రాధాన్యత లేదు. disjunction మరియు XOR ప్రధానం సమాన, అలాగే అంతర్నిహిత మరియు సమాన ముఖ్య ఉన్నాయి.

అంతర్నిహిత మరియు సమాన యొక్క విధులు

మేము చెప్పారు గా, ప్రాథమిక తార్కిక కార్యకలాపాలు, గణిత తర్కం మరియు ఉత్పన్నాలు ఉపయోగించి అల్గోరిథంలు సిద్ధాంతం పాటు. ఇది చాలా తరచుగా అంతర్నిహిత మరియు సమాన ఉంది.

సూత్రప్రాయంగా లేదా తార్కిక పరిణామం - ఈ ప్రకటన ఒక చర్యను ఒక పరిస్థితి, మరియు ఇతర - దాని అమలు యొక్క ఫలితం. ఇతర మాటలలో, "అప్పుడు ఉంటే ..." అనే కారణంతో ఈ ప్రతిపాదన. "విందు తర్వాత లెక్కింపులో వస్తుంది." డ్రైవింగ్ కోసం E. స్లెడ్ కొండ మీద కఠినతరం చేయాలి. పర్వత నుండి క్రిందికి తరలించడానికి, ఆపై స్లెడ్ డ్రాగ్ కోరిక ఉంటే అవసరం లేదు. కాబట్టి రాస్తారు: ఎ → B లేదా A⇒B.

సమాన నికర ప్రభావం ఏర్పడుతుంది రెండు ఆపరాండ్లను నిజమైనపుడు మాత్రమే సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, రాత్రి సూర్యుడు క్షితిజ సమాంతర పైగా పెరిగినప్పుడు, (అప్పుడు మాత్రమే మరియు) తర్వాత రోజు మార్గం ఇస్తుంది. ఈ ప్రకటన యొక్క గణిత తర్కం భాషలో A≡B, A⇔B, ఒక == B. గా రాస్తారు

బూలియన్ ఆల్జీబ్రా ఇతర చట్టాలు

ఆల్జీబ్రా తీర్పు అభివృద్ధి, మరియు అనేక ఆసక్తి శాస్త్రవేత్తలు కొత్త చట్టాలు సూత్రీకరించి. అత్యంత ప్రసిద్ధ భావిస్తారు ప్రతిపాదిస్తుంది స్కాటిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు O. డి మోర్గాన్. అతను గమనించి మరియు దగ్గరగా వ్యతిరేకించడం, అదనంగా మరియు డబుల్ నెగటివ్ వంటి లక్షణాలు ఒక నిర్వచనాన్ని ఇచ్చింది.

Close తిరస్కరణ ఎటువంటి కొట్టిపారేసిన కుండలీకరణములలో ముందు సూచిస్తుంది: కాదు (A లేదా B) = కాదు A లేదా B. NOT

పద్ధతి ఖండించారు చేసినప్పుడు, సంబంధం లేకుండా దాని విలువ, అదనంగా గురించి చెప్పటానికి:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

చివరకు, డబుల్ వ్యతిరేకించడం కూడా భర్తీ. అంటే గాని పద్ధతి వ్యతిరేకించడం అదృశ్యమవుతుంది లేదా ఒకే ఉండిపోయింది.

పరీక్షలు పరిష్కరించడానికి ఎలా

తర్కం సరళీకరణ ముందుగా నిర్ణయించిన సమీకరణాలు సూచిస్తుంది. జస్ట్ లై బీజగణితం లో, అది గరిష్ట స్థాయిలో యుద్ధంలో మొదటి పరిస్థితి (సంక్లిష్టంగా ఇన్పుట్ కార్యకలాపాలు వదిలించుకోవటం, మరియు వారితో) సులభతరం అవసరం వంటి, అప్పుడు ఒక సరైన సమాధానం కోసం చూస్తున్న మొదలు.

ఏం సులభతరం చేయడానికి? ఒక సాధారణ ఆపరేషన్ లో అన్ని ఉత్పన్నాలు మార్చండి. అప్పుడు (ఈ మూలకం తగ్గించడానికి బ్రాకెట్లలో చేయడానికి, లేదా ఇదే విధంగా విరుద్ధంగా) అన్ని బ్రాకెట్లలో వెలికితీసే. తదుపరి దశలో ఆచరణలో బూలియన్ ఆల్జీబ్రా లక్షణాలు ఉపయోగించడానికి ఉండాలి (శోషణ లక్షణాలు సున్నా మరియు ఒకటి, మరియు t.).

చివరకు, సమీకరణం తెలియనివారి కనీస, సాధారణ కార్యకలాపాలు కలిపి కలిగి ఉండాలి. మీరు దగ్గరగా ప్రతికూలతలు యొక్క ఒక పెద్ద సంఖ్యలో చేస్తే, ఒక పరిష్కారం కోసం చూడండి సులభమయిన మార్గం. అప్పుడు సమాధానం కూడా ద్వారా ఉంటే పాపప్.