రస్సెల్ పారడాక్స్: ప్రాథమిక సమాచారం, ఉదాహరణలు, సూత్రీకరణ

రస్సెల్ పారడాక్స్ రెండు పరస్పర ఆధారిత తార్కిక విరోధాభాసంను సూచిస్తుంది ఉంది.

రస్సెల్ పారడాక్స్ యొక్క రెండు రూపాలు

తర్కం సెట్లలో ఒక వైరుధ్యం అత్యంత తరచూ చర్చలు రూపం. సెట్ కొందరు సభ్యులు తమను తాము, మరియు ఇతరులు ఉన్నట్టుగా - ఏ. అన్ని సెట్ల సెట్ కూడా సమితి, కాబట్టి అది దానికదే సూచిస్తుంది తెలుస్తోంది. శూన్యం లేదా ఖాళీ, కాని ఇది కూడా ఒక సభ్యుడు ఉండకూడదు. అందువలన, అన్ని సెట్ల సెట్ సున్నా కూడా లోకి చేర్చబడలేదు. పారడాక్స్ ఉన్నప్పుడు లేదో కూడా సభ్యుడు సమితి ప్రశ్న. ఉంటే మరియు అది లేకపోతే మాత్రమే ఇది సాధ్యం.

మరో రూపం పారడాక్స్ లక్షణాలు సంబంధించి ఒక వైరుధ్యం ఉంది. కొన్ని లక్షణములు ఇతరులు కాదు, అయితే, తమను సూచించడానికి తెలుస్తోంది. ఆస్తి అది అయితే ఒక పిల్లి కాదు ఆస్తి, ఆస్తి అనే లక్షణాన్ని ఉండాలి. అతనికి చెందని ఒక ఆస్తి యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉండటం పరిగణించండి. అది కూడా వర్తిస్తుంది ఉంటే? మళ్ళీ, ఊహల ఏ సరసన ఉండాలి. పారడాక్స్ బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ (1872-1970), 1901 లో కనుగొన్న గౌరవార్ధం పేరు పెట్టారు.

కథ

"గణితశాస్త్ర సూత్రాలు" తన పని సమయంలో ప్రారంభ రస్సెల్ సంభవించింది. అతను స్వతంత్రంగా పారడాక్స్ కనుగొన్నారు ఉన్నప్పటికీ, ఇతర గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు ఎర్నెస్ట్ Zermelo సహా సమితి సిద్ధాంతం యొక్క డెవలపర్లు రుజువులు డేవిడ్ హిల్బెర్ట్, అతనికి ముందు వైరుధ్యాలు యొక్క తొలి వెర్షన్ యొక్క తెలుసు. రస్సెల్, అయితే, తన ప్రచురితమైన రచనలలో వివరాలు పారడాక్స్ చర్చించే మొదటి, మొదటి పరిష్కారాలను సూత్రీకరించి ప్రయత్నించారు మరియు పూర్తిగా దాని ప్రాముఖ్యత అభినందిస్తున్నాము మొదటి ఉంది. "సూత్రాల" యొక్క మొత్తం అధ్యాయం ఈ సమస్య యొక్క చర్చ భక్తుడు, మరియు అప్లికేషన్ రస్సెల్ ఒక పరిష్కారంగా ప్రతిపాదించారు రకాల సిద్ధాంతం, భక్తుడు.

రస్సెల్ ఏ సెట్ శక్తి దాని ఉపభాగాలుగా సమితి కంటే చిన్నది అని కాంటర్ యొక్క సమితి సిద్ధాంతం పరిగణనలోకి, "లయర్ యొక్క పారడాక్స్ 'కనుగొన్నారు. డొమైన్ లో కనీసం ప్రతి మూలకం ఒకటి ఉపసమితి మాత్రమే ఈ మూలకాన్ని కలిగివున్న సెట్ చేయబడి ఉంటే, అది మూలకాలు ఉంటాయి వంటి అనేక ఉపశాఖలు ఉండాలి. ఇంకా, కాంటర్ మూలకాల సంఖ్య ఉపభాగాలుగా సంఖ్య సమానంగా ఉండకూడదు నిరూపించింది. అదే సంఖ్యలో ఉన్నాయి ఉంటే, అది వారి ఉపభాగాలుగా ఎలిమెంట్ ప్రదర్శిస్తుంది ఆ ƒ ఫీచర్ ఉనికిలో ఉంటుంది. అదే సమయంలో ఈ అసాధ్యం అని నిరూపించాడు చేయవచ్చు. కొన్ని అంశాలను ఇతరులు చూపకపోయినా, వాటిని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ ƒ ఉపభాగాలుగా ప్రకటనలు ప్రదర్శించబడతాయి.

వారు ƒ ప్రదర్శించడానికి దీనిలో వారి చిత్రాలు, చెందిన లేని అంశాల ఉపసమితి పరిగణించండి. ఇది కూడా అంశాల ఉపసమితి ఉంటుంది, అందువలన, ƒ ఫంక్షన్ డొమైన్ లో ఒక మూలకం ఇది ప్రదర్శిస్తుంది. సమస్యను అప్పుడు ప్రశ్న ఈ మూలకం ఇది ƒ ప్రదర్శించే వరకు సమితికి చెందిన లేదో ఉదయిస్తుంది ఉంది. ఇది చెందకపోతే, ఈ మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. రస్సెల్ పారడాక్స్ వాదన అదే లైన్ ఒక ఉదాహరణ చూడవచ్చు, మాత్రమే సరళీకృతం. సెట్లు లేదా సెట్ ఉపభాగాలుగా - మరింత ఏమిటి? ఇది అక్కడ మరిన్ని సెట్లు ఉండాలి సెట్లు తాము అన్ని ఉపభాగాలుగా వంటి అనిపించవచ్చు. కానీ కాంటర్ యొక్క సిద్ధాంతం నిజమైతే, అప్పుడు మరింత ఉపభాగాలుగా ఉండాలి. రస్సెల్ కేవలం భావిస్తారు తమ మీద తాము సెట్లు ప్రదర్శించడానికి మరియు kantoriansky విధానం ఈ అంశాలు, అవి ప్రదర్శించబడతాయి దీనిలో ఒక సమితి యొక్క బయట సమితి పరిగణనలోకి దరఖాస్తు. చూపిస్తున్న రస్సెల్ అన్ని సెట్లు, కాని సమితి అవుతుంది.

లోపం Frege

"లయర్ యొక్క పారడాక్స్" సెట్లు సిద్ధాంతం యొక్క చారిత్రక అభివృద్దికి బలమైన ప్రభావంను చూపింది. అతను సార్వత్రిక సెట్ భావన అత్యంత సమస్యాత్మక అని చూపించాడు. అతను కూడా ప్రతి నిర్వచించిన పరిస్థితి లేదా ఆధారం కోసం ఈ పరిస్థితి సంతృప్తి మాత్రమే విషయాలు బహుత్వ ఉనికి ఊహించుకుని భావనను ప్రశ్నించారు. వెర్షన్ సెట్లు ఒక సహజ పొడిగింపు - - లక్షణాలు సంబంధించిన ఎంపిక పారడాక్స్ లేదా ఒక ఆస్తి లక్ష్యం ఉనికిని ప్రతి పరిస్థితి, లేదా ఆధారం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది ఒక సార్వత్రిక నిలబెట్టడానికి వాదించేందుకు సాధ్యం అన్నది వంటి తీవ్రమైన సందేహాలు లేవనెత్తారు.

ఇలాంటి ఊహాలు చేసిన వెంటనే తార్కికులు పనిలో వైరుధ్యాలు మరియు సమస్యలు దొరకలేదు, తత్వవేత్తలు మరియు గణిత. ప్రారంభ XX శతాబ్దం - 1902 లో, రస్సెల్ పారడాక్స్ యొక్క రూపాంతరం, ఒక తార్కిక వ్యవస్థలో తెలుపవచ్చని గొట్ట్లోబ్ Frege యొక్క "అంకగణితం యొక్క ఫౌండేషన్స్" వాల్యూమ్ I, చివరి XIX తర్కం ప్రధాన రచనలలో ఒకటి అభివృద్ధి దొరకలేదు. Frege యొక్క తత్వశాస్త్రంలో అనేక "పొడిగింపు" లేదా "విలువ-శ్రేణి" భావనగా అర్థం. భావనలు సహసంబంధం ఆ దగ్గరగా ఉంటారు. వారు ఏ పరిస్థితి లేదా ఆధారం కోసం ఉనికిలో భావిస్తున్నారు. అందువలన, దాని నిర్వచన భావన కింద వస్తాయి లేని సమితి, ఒక భావన ఉంది. ఈ భావన ప్రకారం నిర్వచించబడిన వర్గం కూడా ఉంది, మరియు అది లేకపోతే మాత్రమే దాని భావన నిర్వచించు సంబంధించినది.

రస్సెల్ కరస్పాండెన్స్ అత్యంత ఉత్తేజకరమైన ఒకటిగా మారింది జూన్ 1902 లో ఈ వివాదం గురించి Frege రాశాడు మరియు తర్కం యొక్క చరిత్రలో గురించి మాట్లాడారు. Frege వెంటనే పారడాక్స్ యొక్క దురదృష్టకర పర్యవసానాలు గుర్తించింది. అతను తన తత్వశాస్త్రం లక్షణాలు సంబంధించి వివాదం వెర్షన్ స్థాయిలు విషయముల మధ్య తేడాను పసిగట్టగల పరిష్కరించబడింది అయితే, గమనించాలి.

Frege నోషన్ TRUE ఫంక్షన్ యొక్క వాదనలు నుండి పరివర్తనం అర్థం. భావనలు మొదటి స్థాయి వాదనలు రెండవ స్థాయి భావనలు వస్తువులు ఈ విధులకు వాదనలు, మరియు అందువలన న వంటి తీసుకోండి తీసుకొని. అందువలన, భావన ఒక వాదన గా తీసుకోవాలని ఎప్పుడూ, మరియు లక్షణాల పరంగా పారడాక్స్ రూపొందించారు సాధ్యం కాదు. అయితే సెట్లు, విస్తరణ లేదా భావనలు Frege అన్ని ఇతర వస్తువుల మాదిరిగానే తార్కిక రకం సూచించడం వంటి అర్థం. అప్పుడు ప్రతి సెట్ కోసం అది నిర్వచించు భావన కింద పడిపోతుంది లేదో ఒక ప్రశ్న ఉంది.

Frege, రస్సెల్ మొదటి అక్షరం, "అంకగణితం యొక్క ఫౌండేషన్స్" రెండవ సంపుటిలో అందుకొని ఇప్పటికే ప్రింట్ ముగిసిన. అతను త్వరగా రస్సెల్ పారడాక్స్ సమాధానాన్ని ఇస్తుంది ఒక అప్లికేషన్ సిద్ధం వచ్చింది. ఉదాహరణలు Frege సాధ్యమైన పరిష్కారాలను ఒక సంఖ్యను కలిగి ఉంది. కానీ అతను ఒక తార్కిక వ్యవస్థలో సంగ్రహణం సెట్ భావన బలహీనపడుతుందని నిర్ధారణకు వచ్చారు.

అసలు, అది వస్తువు సెట్ చెందిన మరియు మాత్రమే అది భావన లోపల ఉన్నపుడు, దానిని నిర్వచిస్తుంది నిర్ధారించారు సాధ్యపడేది. సవరించిన వ్యవస్థ మాత్రమే బహుత్వ నిర్వచించు భావన పరిధిలోకి వస్తుంది మరియు ఖచ్చితంగా ఒకవేళ ఉంటే, కానీ ప్రశ్న కూర్చొబడలేదు వస్తువు సెట్ చెందిన వచ్చారు. రస్సెల్ పారడాక్స్ పుడుతుంది.

పరిష్కారం, Frege పూర్తిగా సంతృప్తి కాదు. మరియు ఈ కారణం. అనేక సంవత్సరాల తరువాత, వైరుధ్యం మరింత సంక్లిష్టమైన రూపం సవరించిన వ్యవస్థ కోసం కనుగొనబడింది. కానీ ఈ జరిగిన ముందే, Frege తన నిర్ణయాలు రద్దు మరియు అతని విధానం కేవలం పనిచేయలేకపోయిందని అని నిర్ధారణకు వచ్చిన కనిపిస్తుంది, మరియు తర్కానికి సెట్లు ఏ లేకుండా ఉంటుంది.

మరికొందరు ప్రతిపాదించబడింది, సాపేక్షంగా మరింత విజయవంతమైన ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారాలను చేశారు. ఈ క్రింద చర్చించబడ్డాయి.

రకాల సిద్ధాంతం

పైన Frege వైరుధ్యాలు ఒక తగిన స్పందన ఇది గుర్తించారు సమితి సిద్ధాంతాన్ని వెర్షన్ లో లక్షణాలు కోసం రూపొందించారు. Frege యొక్క ప్రతిస్పందన పారడాక్స్ ఈ రూపం తరచూ చర్చలో పరిష్కారం జరిగింది. ఇది లక్షణాలతో వివిధ రకాల లోబడి ఉంటాయి మరియు ఆస్తి రకం ఇది సూచిస్తుంది అంశాలను అదే ఎప్పుడూ నిజాన్ని ఆధారంగా.

అందువలన, కూడా ప్రశ్న తలెత్తుతుంది ఆస్తి వర్తిస్తుంది అని. లాజికల్ భాష, రకాల సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, అటువంటి ఆధిపత్యంలో అంశాలు వేరు. ఇది ఇప్పటికే Frege, మొదటిసారి ఉపయోగిస్తున్నారు ఇది పూర్తిగా వివరించారు మరియు "సూత్రం" అనెక్స్ లో రస్సెల్ వాస్తవమని ఉంది. రకాల సిద్ధాంతం Frege స్థాయిలు ప్రత్యేకతను కంటే ఎక్కువ పూర్తి ఉంది. ఆమె భాగస్వామ్యం లక్షణాలు తర్కం వివిధ రకాల, కానీ కూడా సెట్ మాత్రమే ఉన్నాయి. రస్సెల్ క్రింది పారడాక్స్ లో వైరుధ్యం పరిష్కరించడానికి సిద్ధాంతం టైప్ చేయండి.

ఒక తాత్వికంగా తగిన ఉండటానికి, లక్షణాలు రకాల సిద్ధాంతం స్వీకరణ తాము దరఖాస్తు సాధ్యం కాదు ఎందుకు వివరించడానికి అందుకని లక్షణాలు ప్రకృతి సిద్ధాంతం అభివృద్ధి అవసరం. మొదటి చూపులో, అది వారి సొంత ఆస్తి ఆధారం అనేది అర్థవంతంగా ఉంటుంది. స్వీయ-గుర్తింపు అనే ఆస్తి, అది కూడా ఒక స్వీయ గుర్తింపు, అగుపిస్తుంది. ఆస్తి ఒక nice ఆనందించే ఉన్నట్టుగా. అదే విధంగా, స్పష్టంగా, ఇది తప్పుడు ఒక పిల్లి అనే ఆస్తి ఒక పిల్లి అని చెప్పటానికి తెలుస్తోంది.

అయితే, వివిధ ఆలోచనాపరులు వివిధ రకాల విభజన సమర్ధించుకున్నారు. రస్సెల్ కూడా తన కెరీర్లో వివిధ సమయాల్లో వివిధ వివరణలు ఇచ్చాడు. దాని భాగం, Frege స్థాయిలు వివిధ భావనలు వేరు హేతువుగా అసంతృప్త భావనలు తన సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది. విధిగా కాన్సెప్ట్స్, సారాన్ని, అసంపూర్తిగా ఉన్నాయి. విలువ అందించడానికి, వారు ఒక వాదన అవసరం. మీరు ఒకే రకమైన భావన ఆధారం అనేది కేవలం ఒక భావన కాదు అది ఇప్పటికీ దాని వాదన అవసరం ఎందుకంటే. ఉదాహరణకు, అది ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం యొక్క వర్గమూలం తీసుకోవాలని అవకాశం ఉంది, అయితే, మీరు కేవలం ఒక వర్గమూలం ఫంక్షన్ వర్గమూలం ఫంక్షన్ ఉపయోగించడానికి మరియు ఫలితంగా పొందలేము.

సంప్రదాయవాదం లక్షణాలు గురించి

మరొక పరిష్కారం ఏ ఇచ్చిన పరిస్థితులు, లేదా తీరైన ఆధారం క్రింద పారడాక్స్ లక్షణాలు వ్యతిరేకించడం లక్షణాలు ఉనికి ఉంది. వాస్తవానికి, ఎవరైనా మొత్తంగా రెండు లక్ష్యం మరియు స్వతంత్ర అంశాల అధిభౌతిక లక్షణాలు లేకుండా ఉంటే, మేము నామవాదం పారడాక్స్ తీసుకుంటే పూర్తిగా నివారించవచ్చని.

అయితే, విరోధాభాసంను సూచిస్తుంది పరిష్కరించడానికి కాబట్టి తీవ్రమైన పడనవసరం లేదు. తర్కం అధిక ఆర్డర్ సిస్టంస్ ఇది ప్రకారం, అభివృద్ధి Frege మరియు రస్సెల్ ఏమి ఒక సంభావిత సూత్రం అంటారు కలిగి, ప్రతి ఓపెన్ సూత్రాలు సంబంధం లేకుండా ఉదాహరణకు ఒక ఆస్తి లేదా భావన, కేవలం ఆ సూత్రం మ్యాచ్ వస్తువుల భాగంగా ఉంది ఎలా సముదాయ. వారు ఉన్నా వారు ఎంత క్లిష్టమైన పరిస్థితులు లేదా విభక్తి, ప్రతి సాధ్యం సెట్ లక్షణాలను దరఖాస్తు చేసుకున్నారు.

అయితే, అది కుడి సాధారణ లక్షణాలు లక్ష్యం ఉనికికి, ఉదాహరణకు, ఎరుపు రంగు, నిశ్చయము, దయ మరియు అందువలన న వంటి ఇవ్వడం సహా, మరింత కఠినమైన అధిభౌతిక లక్షణాలు తీసుకోవాలని సాధ్యపడేది. D. మీరు కూడా ఈ లక్షణాలు వంటి దయ తాము వర్తిస్తాయి తెలియజేయవచ్చు చెయ్యవచ్చు దయ.

మరియు క్లిష్టమైన లక్షణాలను అదే స్థితి ఉదాహరణకు, పదిహేడు తలలు కలిగి వంటి "లక్షణాలు", అండర్ నీటిని వ్రాసిన మరియు వంటి. D. ఈ సందర్భంలో, ముందుగా నిర్ణయించిన పరిస్థితి ప్రాపర్టీ అందుకోలేని, అని విడివిడిగా అర్థం, నిరాకరించవచ్చు ఇప్పటికే దాని సొంత ఆస్తుల మూలకం. అందువలన ఒక సాధారణ లక్షణాలు కాదనడం చేయవచ్చు బీ ఆస్తి అని కాని అనువర్తిత టు స్వీయ మరియు మరింత సాంప్రదాయిక అధిభౌతిక లక్షణాలు అమలు చేయడం ద్వారా పారడాక్స్ నివారించడానికి.

రస్సెల్ పారడాక్స్: పరిష్కారం

అది తన జీవిత చరమాంకంలో Frege పూర్తిగా సెట్లు తర్కం రద్దు ఉండదని సూచించారు పైన. ఈ, కోర్సు యొక్క, ఒక విరోధాభాసంను సూచిస్తుంది జట్లను రూపంలో పరిష్కారం: మొత్తం వంటి అంశాలు ఉనికి యొక్క ఒక సాధారణ తిరస్కరణ. అదనంగా, బేసిక్స్ క్రింద చూపించిన, ఇతర ప్రసిద్ద ఎంపికలు.

చాలా రకాల సిద్ధాంతం

ముందు చెప్పినట్లుగా, రస్సెల్ వివిధ రకాల మాత్రమే లక్షణాలు లేదా భావనలు భాగస్వామ్యం ఎవరు రకాల యొక్క మరింత పూర్తి సిద్ధాంతానికి ఆడాడు, కానీ కూడా సెట్. రస్సెల్ ప్రత్యేక యూనిట్లు బహుత్వ సెట్ భాగస్వామ్యం, ప్రత్యేక వస్తువులు, మొదలైనవి యొక్క సెట్లు బహుత్వ వస్తువులను సెట్లు పరిగణించబడలేదు, మరియు సెట్లు బహుత్వ - .. సెట్స్. ఎప్పుడూ చాలా, రకం ఆనందించారు మీరు కూడా సభ్యుడిగా అనుమతిస్తుంది. అందువలన అక్కడ అది, సభ్యుడిగా అనే స్వయంగా ఉల్లంఘన రకం గురించి ప్రశ్నలు ఏ సెట్ ఎందుకంటే, దాని సొంత సభ్యులు లేని అన్ని సెట్ల ఏ సమితి. మళ్ళీ, ఇక్కడ సమస్య రకాలుగా డివిజన్ తాత్విక పునాదులను వివరించేందుకు అధిభౌతిక సెట్లు వివరించడానికి ఉంది.

స్తరీకరణ

1937 లో V. V. Kuayn రకాల సిద్ధాంతం పోలి ఒక విధంగా, ఒక ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారం అందించింది. దాని గురించి ప్రాథమిక సమాచారం ఉన్నాయి.

మూలకం సెట్లు మరియు ఇతరులు. బహుత్వ కనుగొనే భావన ఎల్లప్పుడూ తప్పు లేదా అర్థరహితం తద్వారా మేడ్ వేరు. సెట్లు వాటి నియమాలను నిర్వచించటం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే కనిపెట్టబోయే ఉల్లంఘన రకం కాదు. అందువలన, క్వైన్ కోసం, వ్యక్తీకరణ "x కాదు x సభ్యుడు" అర్ధవంతమైన ప్రకటన అన్ని అంశాలు x ఈ పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా సమితి ఉనికి అర్థం కాదు ఉంది.

ఈ వ్యవస్థలో సమితి కొన్ని ఓపెన్ ఫార్ములా కోసం ఉన్నట్లయితే మరియు అది అంతస్థులుగా పక్షంలోనే, t. E. వేరియబుల్స్ ఇటువంటి అది వేరియబుల్ ముందు బహుత్వ ప్రతి లక్షణం సంభవించడానికి అప్పగించిన యూనిట్ కేటాయించిన వేరియబుల్ కంటే చిన్న సానుకూల పూర్ణాంకాల కేటాయించిన ఉంటే, అతనికి తర్వాత. ఈ బ్లాక్స్ రస్సెల్ పారడాక్స్, సమస్య సెట్ గుర్తించడానికి ఉపయోగిస్తారు సూత్రం నుండి, అదే ముందు మరియు వేరియబుల్ సభ్యత్వం చిహ్నం అన్స్టార్టిఫైడ్ మేకింగ్ తర్వాత ఉంది.

కానీ అది క్వైన్ "గణిత తర్కం యొక్క న్యూ ఫౌండేషన్స్" స్థిరమైన అని ఫలితంగా వ్యవస్థ, లేదో గుర్తించడానికి ఇంకా ఉంది.

రిజెక్షన్

ఫ్రేంకెల్ (ZF) - పూర్తి భిన్నమైన విధానం Zermelo సిద్ధాంతం తీసుకోవాలి. ఇక్కడ కూడా, సెట్లు ఉనికి పరిమితిని. బదులుగా, రస్సెల్ మరియు Frege యొక్క "టాప్ డౌన్" మొదట అన్ని భావనలు, లక్షణాలు, లేదా పరిస్థితులు ఈ ఆస్తిపై తో విషయాలు సెట్ ఉనికి సూచించవచ్చు లేదా ZF-సిద్ధాంతంలో, అటువంటి పరిస్థితి కలిసే ఆ భావించిన చేరుకోవటానికి, ప్రతిదీ మొదలవుతుంది "క్రింది నుండి పైకి."

ఖాళీగా సెట్ మరియు వ్యక్తిగత అంశాలు సమితి ఏర్పాటు. అందువలన, మునుపటి విధానాలతో మరియు రస్సెల్ Frege FIT కాకుండా అన్ని అంశాలు మరియు కూడా అన్ని సెట్లు కలిగి సార్వత్రిక సెట్ కు సంబంధించినది కాదు. ZF సెట్లు ఉనికి కఠినమైన పరిమితులు అమర్చుతుంది. ఆ అది స్పష్టంగా ప్రతిపాదిస్తున్నారు లేదా పునరావృతం అయ్యే ప్రక్రియలు మరియు వంటి ద్వారా రూపొందించారు ఉండవచ్చు ఇది మాత్రమే ఉండవచ్చు. D.

అప్పుడు, బదులుగా భావన సంగ్రహణం అమాయక సెట్ ఉపయోగించారు DF, విభజన లేదా "సార్టింగ్" విభజన సూత్రం లో పరిస్థితులు కలుస్తుంది మరియు మాత్రమే ఉంటే ఒక నిర్దిష్ట అంశానికి సెట్ చేర్చారు అని ప్రకటించింది. బదులుగా ప్రతి ఇప్పటికే సెట్ కోసం, మినహాయింపు లేకుండా అన్ని అంశాల సమితి ఉనికి ఊహిస్తూ ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితి తృప్తిపరచడానికి Aussonderung పరిస్థితి సంతృప్తి పరిచే అసలు సెట్ లో అన్ని మూలకాలు ఉపవర్గాలను ఉనికి సూచిస్తుంది.

అప్పుడు సంగ్రహణం సూత్రం వస్తుంది: సెట్ ఎ ఎ లో అన్ని x తరువాత, ఉనికిలో ఉంటే, x ఉంటే మరియు మాత్రమే x సంతృప్తి పరిస్థితి C. ఈ విధానం పరిష్కరిస్తుంది పారడాక్స్ రస్సెల్, నుండి, మేము కేవలం ఊహించుకోవటం కాదు పరిస్థితి సంతృప్తి పరిచే ఉపసముదాయం ఒక, చెందుతుంది ఆ తాము సభ్యులు లేని అన్ని సెట్ల సమితి.

సెట్లు చాలా కలిగి, మీరు ఎంచుకోవచ్చు లేదా వాటిలో ఇవి సెట్లు, మరియు కాదు వారికి అది విభజించి, కానీ మేము అన్ని సెట్ల సెట్ కట్టుబడి లేదు సార్వత్రికమైన సమితి ఉంది నుండి. సమస్య ఊహించకపోతే అమర్చుతుంది రస్సెల్ వైరుధ్యం నిరూపించబడింది సాధ్యం కాదు.

ఇతర పరిష్కారాలను

అదనంగా, అటువంటి "గణితశాస్త్ర సూత్రాలు" వ్యవస్థ విస్తరణ "గణిత తర్కం" క్వైన్, అలాగే సెట్లు సిద్ధాంతం ఇటీవల అభివృద్ధులు ఫోర్క్ టైపు సిద్ధాంతము తర్వాత పొడిగింపులు లేదా ఈ పరిష్కారాలను మార్పులు చోటు చేసుకున్నాయి, Bernays, గోడెల్ మరియ్ వోన్ న్యూమాన్ చేసింది. కరగని పారడాక్స్ బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ స్పందన దొరకలేదు అనే ప్రశ్నపై ఇప్పటికీ చర్చనీయాంశంగానే ఉంది.